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第433章 第三轮模拟高考 总分预估655跻身高分区间（第6页）

他重新看题。题中椭圆的长短轴之比是根号三比一，这是个特殊比例。如果采用椭圆的参数方程，设点的坐标为（acosθ，bsinθ），其中b=a√3，那么弦长和面积的表达式可能会简化。

试试看。

凌凡在草稿纸上飞快演算。

设两个点的参数角为θ1和θ2，代入弦长公式，用三角恒等变换化简……

果然，复杂的代数式变成了相对简洁的三角函数式。

再代入面积公式——椭圆中三角形面积有个现成公式：S=12ab|sin（θ1-θ2）|。

两边对比，再用基本不等式放缩……

成了！

凌凡眼睛一亮，笔尖在答题卡上疾书。写完证明过程最后一笔时，他看了一眼时间：开考一小时五十二分钟。

还剩八分钟。

一道压轴题。

不可能做完了。

但他还是翻到了最后一页。

函数导数题，题干密密麻麻占了大半页纸。凌凡用一分钟快速读题，大脑自动开始分析：第一问求单调区间，简单；第二问证明不等式，中等；第三问讨论参数取值范围，难。

如果时间充足，他能做。

但只剩七分钟了。

凌凡做出了决定：放弃第三问，保第一、第二问。

他提笔，用最快的速度写第一问——求导，解方程，画表格，写结论。三分钟完成。

第二问，要证明当x＞0时，f（x）＞g（x）。常规思路是构造新函数h（x）=f（x）-g（x），求导分析单调性，找最小值。

但求导后发现，h（x）的零点无法精确求出，需要二次求导，甚至可能需要用上泰勒展开的放缩技巧——这已经远超高考要求了。

凌凡的笔停住了。

时间还剩三分钟。

他盯着那道题，脑子里飞快运转。一定有更简单的方法——出题人不会在第二问就设置需要超纲知识才能解的题。

重新审题。

f（x）是指数函数和多项式组合，g（x）是对数函数和一次函数组合。

指数函数增长快于多项式，对数函数增长慢于一次函数……

等等。

凌凡突然想到陈景说过的话：“当你觉得一道题难到不正常时，一定是方向错了。退一步，回到定义，回到最原始的想法。”

最原始的想法是什么？

是要证明f（x）＞g（x）。

那能不能不直接证明，而是分别给f（x）找下界，给g（x）找上界，然后证明f（x）的下界大于g（x）的上界？

就像要证明A＞B，不一定非要直接比较A和B，可以找一个比A小的C，找一个比B大的D，然后证明C＞D。

这个思路让凌凡浑身一震。

他立刻开始找界。

f（x）=e^x-x^2，当x＞0时，e^x＞1+x+x^22（这是e^x的泰勒展开前几项，但也可以用基本不等式推导出来）。

所以f（x）＞（1+x+x^22）-x^2=1+x-x^22。

g（x）=ln（x+1）+x，当x＞0时，ln（x+1）＜x（这是常用不等式）。

所以g（x）＜x+x=2x。

现在只需要证明：1+x-x^22＞2x，即1-x-x^22＞0。

整理得：x^2+2x-2＜0。

解这个二次不等式，x的范围是（-1-√3，-1+√3）。因为x＞0，所以实际上只需要0＜x＜-1+√3≈0.732时成立。

但题目要求证明对所有x＞0都成立，现在只证明了在（0，0.732）区间内成立。

还差x≥0.732的部分。

时间只剩一分钟了。

凌凡的脑子转得快要冒烟。他盯着草稿纸上的不等式，忽然意识到：当x≥0.732时，1+x-x^22可能已经小于2x了，但这个思路本身没错——只是需要调整找界的方法。

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