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第93章 给赵鹏讲题 如何用能量观点巧解难题（第1页）

寒假闭关的时光枯燥却充实，凌凡感觉自已的物理知识体系日益坚固，对能量、动量这些新观念的理解也愈发深刻。然而，真正的掌握，不仅在于自已能解出多难的题，更在于能否将复杂的思路清晰地传达给别人，并让对方理解。这个机会，在新学期开学不久后，便由他的“开山大弟子”赵鹏送上门来。

一个课间，赵鹏哭丧着脸，拿着一本厚厚的物理练习册蹭到凌凡旁边，指着一道画满了各种力、看起来异常复杂的题目。

“凡哥！救命啊！这道题我做了一晚上，头发都快薅秃了！用牛顿定律解，受力分析搞得我想死，方程列了一堆，根本解不出来！”赵鹏的声音充满了绝望。

凌凡接过练习册，题目如下：

【题目】：如图，一轻弹簧一端固定于墙面，另一端与质量为m的物体A相连，A置于光滑水平面上。另一质量为2m的物体B以初速度v?冲向A。已知弹簧劲度系数为k，且B与A之间的摩擦因数为μ。假设B与A接触后能共同运动（即不分离）。求：（1）B与A刚达到共同速度时，弹簧的压缩量x?。（2）AB共同体向右运动的最大距离x_max。

凌凡快速扫题。涉及碰撞（可能非弹性）、弹簧、摩擦力、共同运动……过程复杂。若用牛顿定律，需要分析A、B各自的受力（弹簧弹力、相互摩擦力）、加速度变化，这确实是场噩梦，需要列出微分方程，远超高中范围。

但他嘴角却露出一丝微笑。这道题，简直是为他量身定做的，用来展示能量观点和动量观点在处理复杂过程时化繁为简的威力！

“鹏啊，”凌凡放下练习册，看着赵鹏，“你掉进‘牛顿定律’的陷阱里了。这道题，谁用牛顿定律谁傻。来，今天哥教你点高级的——能量观和动量观。”

赵鹏眼睛一亮，立刻搬来椅子，拿出小本本，一副虔诚听讲的模样。

“首先，建模。”凌凡拿起笔，在草稿纸上画图，“对象：A和B。环境：光滑水平面（无摩擦）、弹簧、B和A之间有滑动摩擦。过程：B撞A，然后一起运动压缩弹簧。”

“整个过程很复杂，但我们不关心细节。我们只关心几个关键的状态和整个系统的能量、动量变化。这就是能量和动量观点的精髓——绕过过程细节，直击首尾状态。”

“先看第（1）问：求B与A刚达到共同速度时，弹簧的压缩量x?。”凌凡圈出“刚达到共同速度”这几个字。“‘刚达到共同速度’意味着什么？意味着碰撞过程刚刚结束！B和A获得了相同的速度，但此时弹簧可能已经被压缩了一点（x?≠0）。”“这个过程，从B接触A开始，到两者共速结束。在这个过程中，系统（A+B）水平方向受外力吗？”凌凡提问。

赵鹏仔细看：“墙对弹簧的拉力？……哦！弹簧是轻弹簧，墙对弹簧的拉力是内力！水平方向无外力！所以……系统动量守恒！”

“Bingo！”凌凡赞赏地点头，“所以，对于第（1）问，从开始到共速，我们首先用动量守恒定律！”“设共同速度为v共。”“初态动量：只有B有动量，p初=2m*v?”（设向右为正）“末态动量：（m+2m）*v共=3mv共”“列方程：2mv?=3mv共=＞v共=（23）v?”

“看，一步到位，求出了共同速度。”凌凡轻松地说。“但是……这还没完，问的是弹簧压缩量x?啊？”赵鹏疑惑道。

“别急。”凌凡老神在在，“动量守恒只给了我们速度关系。现在，关注能量。从B接触A开始，到两者共速结束，这个过程能量守恒吗？”

赵鹏思考：“有滑动摩擦力！B和A之间有相对滑动，摩擦力做功，肯定有机械能损失！所以机械能不守恒。”

“非常对！”凌凡肯定道，“所以，我们不能用机械能守恒。但是，我们可以用能量转化和守恒的普遍观点！或者说，用功能关系！”“在这个过程中，系统总机械能的减少量，等于摩擦力克服相对滑动所做的功（转化为内能）。”“我们来计算一下。”“初态机械能E初：只有B的动能，（12）2mv?2=mv?2”“末态机械能E末：A和B的共同动能+弹簧的弹性势能”“共同动能：（12）3m（v共）2=（12）3m（49v?2）=（23）mv?2”（代入v共=（23）v?）“弹簧弹性势能：（12）kx?2”“所以E末=（23）mv?2+（12）kx?2”“机械能损失：ΔE=E初-E末=mv?2-[（23）mv?2+（12）kx?2]=（13）mv?2-（12）kx?2”“这部分损失的能量，去哪儿了？”凌凡引导。

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“变成内能了！摩擦力生热！”赵鹏回答。“对！而生热Q=f滑*s相对”。赵鹏补充。“f滑=μ*N。这里N是B和A之间的正压力。由于是水平面，N=G_B=2mg？不对！”凌凡立刻纠正，“A和B之间的正压力，对于B来说，就是A对B的支持力，大小等于B的重力2mg？但A在水平面上，竖直方向平衡，所以A对B的支持力确实等于B的重力2mg。所以f滑=μ*2mg。”“s相对是B相对于A的位移。从B接触A，到AB共速，B相对于地面向右运动了s_B，A相对于地面也向右运动了s_A，那么B相对于A的位移s相对=s_B-s_A。”

“s_B和s_A不一样，求起来好像又麻烦了？”赵鹏刚燃起的希望又有点熄灭。

“所以我们换个思路！”凌凡早有准备，“我们不对系统用功能原理，而是对单个物体用动能定理！往往更简单！”“对物体B分析！”凌凡画出示意图，“B受到向左的摩擦力f滑=μ2mg。”“从开始到共速，B的动能变化：ΔEk_B=（12）2m（v共）2-（12）2mv?2=m（49v?2）-mv?2=（-59）mv?2”（减少）“根据动能定理，合外力对B做的功等于B动能的变化。这个合外力就是摩擦力（负功）。”“所以：-f滑*s_B=ΔEk_B=（-59）mv?2”（s_B是B对地的位移）“即：μ*2mg*s_B=（59）mv?2=＞s_B=（5v?2）（18μg）”

“对物体A分析！”凌凡继续，“A受到向右的摩擦力f滑=μ2mg（作用力与反作用力）和向左的弹簧弹力F弹（是个变力，从0增大到kx?）。”“从开始到共速，A的动能变化：ΔEk_A=（12）m（v共）2-0=（12）m（49v?2）=（29）mv?2”（增加）“根据动能定理，合外力对A做的功等于A动能的变化。合外力做功=摩擦力做功（正功）+弹力做功（负功）。”“摩擦力做功：+f滑*s_A=μ2mg*s_A”“弹力做功：W弹=-（12）kx?2”（弹力做负功，大小等于弹性势能增加量）“所以：μ*2mg*s_A-（12）kx?2=ΔEk_A=（29）mv?2”...（1）式

“现在我们有两个方程，但有三个未知数：s_A，s_B，x?。还差一个关系。”凌凡看着赵鹏。赵鹏皱着眉头，忽然灵光一闪：“弹簧的压缩量x?！不就是A相对于墙的位移吗？而A是从静止开始向右运动的，所以s_A=x?对不对？因为墙没动！”

“太对了！”凌凡用力一拍赵鹏的肩膀，“关键点！对于一端固定的弹簧，物体的位移就等于弹簧的形变量！所以s_A=x?！”

“代入（1）式：”“μ2mg*x?-（12）kx?2=（29）mv?2”...（2）式“而我们之前由B的动能定理得到了：s_B=（5v?2）（18μg）”“我们还知道相对位移：s相对=s_B-s_A=s_B-x?”“而摩擦力生热Q=f滑*s相对=μ2mg*（s_B-x?）”“另一方面，系统机械能损失ΔE=（13）mv?2-（12）kx?2”“根据能量守恒，ΔE=Q”“所以：（13）mv?2-（12）kx?2=μ2mg*（s_B-x?）”“将s_B代入：”“（13）mv?2-（12）kx?2=μ2mg*（（5v?2）（18μg）-x?）”“化简，两边同时除以m：”“（13）v?2-（12）（km）x?2=2μg*（（5v?2）（18μg）-x?）=（1018）v?2-2μgx?=（59）v?2-2μgx?”“整理方程：”“（13）v?2-（59）v?2+2μgx?-（12）（km）x?2=0”“（-29）v?2+2μgx?-（12）（km）x?2=0”“两边乘以18以消去分母：”“-4v?2+36μgx?-9（km）x?2=0”“即：9（km）x?2-36μgx?+4v?2=0”“这就是关于x?的一元二次方程，解之即可得到x?。”

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虽然最后需要解方程，但整个思路完全规避了复杂的动力学过程，只用了动量守恒、动能定理和能量守恒观念！

“哇……”赵鹏看着凌凡流畅的推导，虽然最后方程有点复杂，但每一步的物理意义都非常清晰，不禁发出惊叹，“……好像……确实比硬用牛顿定律清晰多了……”

“这就是能量和动量观点的威力。”凌凡总结道，“对于第（2）问，求最大压缩量x_max，就更简单了。”“当B和A达到共同速度后，它们作为一个整体继续压缩弹簧。此时，系统动量守恒吗？”凌凡问。“不守恒！墙对弹簧有拉力，是外力！”赵鹏这次反应很快。“对！但是，从共速点到最后压缩到最远点，这个过程机械能守恒吗？”“守恒！因为AB共同体内部无相对滑动，无摩擦生热，只有弹簧弹力做功，所以机械能守恒！”“所以，对从共速状态（动能为（12）3mv共2，弹性势能为（12）kx?2）到最大压缩状态（动能为0，弹性势能为（12）kx_max2）这个过程，列机械能守恒方程：”“（12）3m（v共）2+（12）kx?2=（12）kx_max2”“代入v共=（23）v?，即可求解x_max。”

凌凡放下笔，看着赵鹏：“整个过程，我们几乎没有分析中间复杂的受力，只关注初态、共速态、最终态，运用守恒定律和功能关系，就解决了问题。这就是‘大道至简’。”

赵鹏看着写得密密麻麻的草稿纸，眼中充满了敬佩和新的希望：“凡哥……我好像……有点开窍了！原来物理还能这么玩！”

凌凡笑了笑：“记住，遇到复杂过程，先别急着受力分析。想想动量是否守恒？能量是否守恒？或者对谁用动能定理更简单？这条路往往更宽敞。”

通过给赵鹏讲题，凌凡不仅巩固了自已的知识，更完成了一次思维的升华。他真正体会到了高阶物理观点所带来的、那种俯瞰问题的优越感和简洁美。

逆袭之路，不仅是自已攀登，也能点亮同伴前行的路。

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（逆袭笔记·第九十三章心得：1.观点优先：面对复杂过程，优先考虑能量、动量观点，常能绕过繁琐细节，直击核心。2.状态关键：明确过程初、末状态，是应用守恒定律的基础。3.守恒条件：严格判断动量守恒（∑F外=0）、机械能守恒（只有保守力做功）条件是否满足。4.功能转换：当机械能不守恒时，用功能关系（如动能定理）或能量转化（如Q=f滑·s相对）来列式。5.灵活选择：有时对系统用守恒律，有时对单个物体用动能定理，需根据问题灵活选择，或结合使用。6.教是最好的学：尝试向他人讲解，能极大深化自已的理解，并发现思维盲点。）大道至简，守恒当先。状态明晰，难题可煎。授人以渔，己亦豁然。

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